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定积分来求一段弧线的长度

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最近埋头看概率论基础（再不嘲笑老美的数学了，哭，他们的基础我看不懂）

看发看发就看到微积分那里去了（还好不是线性代数，汗一个），毕竟很多推导需要微积分，而且还是很恶心的那种，二重积分换元之类的都用上了

想当年xxxx的时候，微积分根本就是无视掉的呀

哎

总之由于浸再微积分里面就自然想起一个往事

在那遥远的高二，一个猴子状的物体问题我：怎么用积分求一段曲线的长

当时学的定积分就是在学着求面积，所以当时思路是很猪的，想求出两端曲线之间的面积再除以两端曲线的间隔

好像最终没有推导出来，而那只猴子也没有告诉我答案（貌似他也没想出来的说），因为无关乎xx考试，就搁着了

现在想来一个很明显的错误是这样求的的根本不是一个边x边形式的面积的东西

也就是说2段间隔为1个单位的曲线之间夹的面积并不等于把这2个曲线“拉直”之后的宽为1的矩形的面积

这一点可以通过2个半○的特例来发现

今天在OB课上又猛然想起这个问题，果然是OB过于无聊才会想到这种问题D

所谓微分\frac{dy}{dx} 可以体现在这样的一个图中

c

它就是那条黑色切线的斜率，那么在由2条红色的边和1条蓝色的边组成的三角形中

显然那条蓝色边的长度等于\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}

而当dx足够小的时候，这条蓝色的斜边应该近似等于从x到x+\mathrm{d}x的曲线的长度

结合对积分的理解，其本质就是一系列乘积的求和的形式（确切点是一个极限形式），例如对一个一元函数的积分，既是其函数值 乘以 一个微小的dx

由\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2} = \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}\,\mathrm{d}x

既是\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x

对这一系列的近似弧线长度的“小斜边”们求和(假设曲线是y 区间是[a,b])

\int_a^b \sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm{d}x

我们得到的就是y这个曲线在[a,b]上的那段的长度啦

然后呢，我当然去Google一下是不是这样，结果Bingo，咔咔，这里的深入一些的内容就是所谓的弧微分的东东

Over

以一个笑话结尾：

A：你明天对那些社区大学的学生们讲微积分的话，只讲一些比较基础的就可以了
B：了解
翌日
B：同学们，今天我们来讲一下定积分
S：（莫名其妙状）
B：哦，如果这个概念难以理解的话，你们可以把它看到一个黎曼和的极限
S：（倒）

好吧，我承认我是为了测试WordPress输入TeX公式的效果才凑这篇文章的，结果发现如果代码内容很短的话，比如是\mathrm{d}x这样的是不会被转的，大概是为节约资源吧

一个TeX公式助手：http://www.linuxgem.org/2008/8/28/KLatexFormula.5229.html

一篇不错的教程：http://lyanry.is-programmer.com/posts/442.html

Written by wOOL

十二月 2, 2008 at 9:12 下午

Posted in Calvados

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