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Archive for 三月 2009

两篇文章的存档

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哲学完全是我们误用语言的结果，因而哲学研究的真正目的，就应当是消除对语言的误用，由此就消除了哲学本身。
— 维特根斯坦

（伪）

OO，OO以后，及其极限
像大师们一样思考——从“UML何时死掉”谈起

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28/03/2009 at 12:53

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抛帽子，捡帽子

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去年看到的一个比较有趣的概率问题，可以用来装X：“同鞋，直觉是不靠谱的”

非常非常多的一群人， 每个人都戴着一顶不同的帽子，然后呢，他们把自己的帽子抛到同一个地方，再去那里随便拿起一个帽子带上，问：所有人带着都带上的都不是自己原本的帽子的概率是多少

一个直觉上的思路：因为人非常多，所以一个人拿到自己原先帽子的概率非常小，这样每个人戴上的帽子不是自己的的概率很大，从而题中概率是应该随着人数的增加接近1

专门找了2个女生来验证这种直觉，发现都中招了

咔咔

首先想一个更为简化的问题

假设有1,2,3….n这样的n个数字，如果把它们随机排列，至少有一个数字与它的序号相同的概率是？

我们定义事件Ai为数字i正好是第i个数字，那么A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n}表示的就是“1在第1个，或2在第2个。。。或n在第n个”

我们求的它的概率

即p(A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n})

显然Ai不是相互独立的—>某个数字占据了自己的位置是会对其他数字在什么位置上有影响的

那么按照最常规的方式展开这个式子（很奇怪的是普通的文科概率论与数理统计并没有提到，认为太简单了？）

p(A_{1}+A_{2})=

p(A_{1})+p(A_{2})

-p(A_{1}A_{2})

p(A_{1}+A_{2}+A_{3})=

p(A_{1})+p(A_{2})+p(A_{3})

-p(A_{1}A_{2})-p(A_{1}A_{3})-p(A_{2}A_{3})

+p(A_{1}A_{2}A_{3})

利用归纳法我们可以得到

p(A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n})=

\sum p(A_{i})

-\sum p(A_{i}A_{j})

+\sum p(A_{i}A_{j}A_{k})

+\cdots\pm p(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})

首先看第一项，\sum p(A_{i})的概率，考虑求和式中的每一个单项，即第i个数字在第i位，其他数字任意排列：把n个数字全排列，有n!种情况，其中1个位置确定，剩余的(n-1)个数字全排列有(n-1)!种情况，概率为\frac{(n-1)!}{n!}，即\frac{1}{\mathrm{A_{n}^{1}}}，这个概率对于每个i是相等的，所以第一项的系数是\mathrm{C_{n}^{1}}，两者相乘，答案是最终答案是\frac{1}{1!}

第二项，p(A_{i}A_{j})的概率，即第i个数字在第i位且第j个数字在第j位，其他数字任意排列，概率\frac{1}{\mathrm{A_{n}^{2}}}，系数是\mathrm{C_{n}^{2}}，两者相乘，最终答案是\frac{1}{2!}

相同的方法最后得到的是

p(A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n})=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\cdots\pm\frac{1}{n!}

e^{x}的展开式

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots

令x=-1

p(A_{1}+A_{2}+A_{3}+\cdots+A_{n})=1-e^{-1}

至少有一个数字与它的序号相同的概率是p=1-e^{-1}

其对立事件“每个数字都不与它的序号相同”的概率是1-p=e^{-1}=\frac{1}{e}

这个对立事件和文章开头的问题显然是等价的，所以那个问题的答案也是\frac{1}{e}

显然的，随着n的增大，概率不是越来越接近1，而是接近一个“自然”的“无理”数 -_-b

那么开始的直觉是否错了？并非如此，其实那是一个更加“优雅”的解法，只不过人们总是在处理“无限”这种问题时总会囧一下，回到我们的直觉：每个人拿到自己帽子的概率是\frac{1}{n}，拿不到自己帽子的概率1-\frac{1}{n}，如果n足够大，那么“每个人拿到自己的帽子”对别人的影响是微乎其微的，那么我们近似的把“某个人拿到的不是自己的帽子”看作是相互独立的。那么“每个人拿到的都不是自己的帽子”的概率是(1-\frac{1}{n})^{n}在n趋于无穷的时候的极限值

lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n})^{n}=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{(-n)})^{(-n)}}=\frac{1}{e}

\frac{1}{e}又“自然”滴出现了

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28/03/2009 at 12:21

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[书摘] [一个关于集合的悖论] 罗素悖论

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源: <<什么是数学>>

虽然直觉主义者的那种不妥协立场对大多数数学家来说是太极端了，但是当美妙的无限集理论中出现了一些逻辑上明显的悖论时，集论受到了严重的威胁。人们很快就发现，毫无约束地滥用“集合”的概念必然引出矛盾。有一个由罗素（R.Russell）揭出的悖论可叙述如下。大多数集合不包含它自身作为元素。例如，全体整数集A只包含数为元素;A本身，不是一个整数，而是一个整数集，A 并不包含它自身为元素。这样的集我们可以称之为“普通的”。有许多集可能包含它自身为元素，例如集S定义如下：“凡是可以用不超过三十个字来定义的集合是 S的元素。”可以看到，S是包含了它自身为一元素的。这样的集我们可以称之为“非普通集”。但无论如何，多数集将是普通的。为了排除“非普通”集的反常状 态，我们可以只着眼于所有普通集组成的集，称它为C。集合C的每一个元素本身是一个集合，而且事实上是一个普通集。现在产生了一个问题上：C本身是普通集还是非普通集？它必须是这二者之一。如果C是普通集，由于C定义为包含所有普 通集，它包含了它本身作为一个元素。这样的话，C必须是非普通集，因为非普通集是那些包含了它本身为元素的集。这是一个矛盾。因此C必须是非普通集。但这 时C包含了一个非普通集（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义相矛盾。因此，无论哪一种情形，仅仅是C的存在，就已经使我们陷入矛盾。

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25/03/2009 at 23:24

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Infinite nested square root

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今天上午的课翘了, 下午的课调了

于是睡了半天, 红警3 起义的战役下午搞定

再消灭一份日式叉烧拉面后, 怀着负罪感去旁听政治课(阿拉根正苗红, 不选这课, 所以是旁听)

扛着那本<<什么是数学去的>>

然后呢, 看到这样滴一个东西

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2 \cdots}}} = 2

即,

A_{1}=\sqrt{2}

A_{2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}

A_{n}=\sqrt{2+A_{n-1}}

lim_{n \rightarrow \infty}A_{n}=2

或者更一般的情况

A_{1}=\sqrt{m}

A_{2}=\sqrt{m+\sqrt{m}}

A_{n}=\sqrt{m+A_{n-1}}   (*)

求 lim_{n \rightarrow \infty}A_{n}

解这个问题的关键在于意识到

当n趋于无穷时, A_{n} = A_{n-1}

由此可知(*)式两边平方后

A_{n}^{2} = m+A_{n-1}

可变为

A_{n}^{2} - A_{n} - m = 0

就是一个普通的二元一次方程啦, 求根公式搞定(舍去负的)

A_{n}= \frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}

把2带入验证一下, 自然是正确Di

当然, 对于m=0的情况, 上式显然不成立==>它等于0嘛~

把式子中的+换成-也可以用同样的方式解决

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25/03/2009 at 23:19

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戴特金分割: 一种定义数的方法

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昨天听Business Law辅导课, 除了把可爱的马里奥赛车玩到冠军外, 翻了几十页的<<什么是数学>>, 看到一个比较有趣的东西, 讲无理数是定义的, 记录一下:

假设给定某种方法, 把所有的有理数分为两个集合, A和B, A中的每一个元素都小于B中的每一个元素, 任何一种分类方法称为有理数的一个分割. 对于任一分割, 必有3种可能, 其中有且只有1种成立:

1. A有一个最大元素a, B没有最小元素. 例如A是所有≤1的有理数, B是所有>1的有理数.

2. B有一个最小元素b, A没有最大元素. 例如A是所有<1的有理数, B是所有≥1的有理数.

3. A没有最大元素, B也没有最小元素, 例如A是所有负的有理数, 零和平方小于2的正有理数, B是所有平方大于2的正有理数. 显然A和B的并集是所有的有理数, 因为平方等于2的数不是有理数.

注: A有最大元素a, 且B有最小元素b是不可能的, 因为这样就有一个有理数\frac{a+b}{2}不存在于A和B两个集合中, 与A和B的并集是所有的有理数矛盾

第3种情况, 戴特金称这个分割为定义了一个无理数, 或者简单的说这个分割是一个无理数.

前面2种情况中, 分割是有理数.

这样, 所有可能的分割构成了数轴上的每一个点, 既有有理数, 又有无理数, 统称实数.

中文WIKI没有这个词条, 顺手加入了一个很简陋滴

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25/03/2009 at 12:50

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Arch迁移 细菌的连续增长模型 Strassen演算法 官塘吃茶点

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1个多月
懒
迁移到Arch 开始使用Xfce4 后来干脆迁移到Openbox
最终不喜欢rox
目前：stalonetray + tint + emelFM2
比较好用的两个东西
gtk-chtheme 用来让Firefox 这样的GTK程序的GUI看起来不是很肮脏
volwheel 一个可以用鼠标滚轮操作的音量调节
听音乐的软件最终还是使用了Banshee
MSN使用的是Galaxium
发现自己使用的MONO类软件越来越多了
C#的成功？最近ASP.NET MVC正式版发布，发现敲WEB APPLACATION有DJANGO般的感觉
***
今天3/23去听CF的试听，老师在上面以极其古怪的非澳洲口语（但是她MONASH毕业啊？）和中等偏上的语速在给我们讲离散情况下的债券估价
就是一等差数列求和，囧
突然想到自己见的第一个微分方程，讲的是细菌的连续增长模型，和那里连续复利模型是一个东西
于是在那张评价用的小纸上开始写，结果发现忘了，继续囧
回来找一下
是这样的东西
DN/Dt=Nr ==>这个来自对N=N0 * R0^t 取自然对数然后对t两边微分，再令r=ln R0
这个r就是瞬时增长率
（如果移项再两边积分就可以得到那个带有可爱e的式子了，当然，这样就又回到最原始的式子了）
***
又是今天，去看Slyar的Blog，看到那小子很悲剧的学着 线性代数 的 矩阵乘法 部分
估计这家伙已经被老师的讲课那令人恐惧的慢进度折磨疯了
当年我是被某毛爷爷令人恐惧的口音折磨了一小下下，结果是今后一年他的数学课都翘掉了
关于那个矩阵乘法，的确是有个巧妙的算法
Strassen演算法
其精髓在于把矩阵分块，分成2×2的块之后
在进行两个2×2矩阵的运算时
由原先的8次乘法，如下

C11=A11B11+A12B21

C12=A11B12+A12B22

C21=A21B11+A22B21

C22=A21B12+A22B22
变成了7次乘法，如下

M1=A11(B12-B22)

M2=(A11+A12)B22

M3=(A21+A22)B11

M4=A22(B21-B11)

M5=(A11+A22)(B11+B22)

M6=(A12-A22)(B21+B22)

M7=(A11-A21)(B11+B12)

做了这7次乘法后，再做若干次加、减法就可以得到:　

C11=M5+M4-M2+M6

C12=M1+M2

C21=M3+M4

C22=M5+M1-M3-M7

以上计算的正确性很容易验证，如:　

C22=M5+M1-M3-M7

=(A11+A22)(B11+B22)+A11(B12-B22)-(A21+A22)B11-(A11-A21)(B11+B12)

=A11B11+A11B22+A22B11+A22B22+A11B12

-A11B22-A21B11-A22B11-A11B11-A11B12+A21B11+A21B12

=A21B12+A22B22　

***
继续今天，核心内容
7人组队去吃糖
兔子滴记录
Lost in 蜃気樓: 逃課！下午茶！村遊！

Written by wOOL

23/03/2009 at 23:03

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