一月 « 2009 « wOOL's Blog

Archive for 一月 2009

重温微积分 – 一元篇

without comments

为了概率论, >_< 拼了
今天又看一遍<<微积分之屠龙宝刀>> ，不得不赞叹好书啊
四个书中没有给出但是有价值的证明: 积法则证明, 链式法则证明, 介值定理证明, 中值定理证明

1.乘法定则
首先是最简单的一个证明, 利用对数

设f = uv，并假设u和v是正数。那么：

$\ln f = \ln u + \ln v.\,$

两边求导，得：

${1 \over f} {d \over dx} f = {1 \over u} {d \over dx} u + {1 \over v} {d \over dx} v$

把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得：

${d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.$

然后是一个一个结合图像的证明

假设

$h(x) = f(x)g(x),\,$

且f和g在x点可导。那么：

$h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)$

现在，以下的差

$f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2)$

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

$f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3)$

因此，(1)的表达式等于：

$\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right).\qquad\qquad(4)$

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

$\left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right) + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right). \qquad\qquad(5)$

现在：

$\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,$

因为当w → x时，f(x)不变；

$\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x)$

因为g在x点可导；

$\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x)$

因为f在x点可导；以及

$\lim_{w\to x} g(w) = g(x)\,$

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

$f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,$

最后, 那个最原始的证明, 老布的原作：

设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是：

$\begin{align} d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\ & {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv. \end{align}$

这里的确需要一些理解

既然一个由u(x)和v(x)相乘而得到的函数f(x)，它的一个微小变化等价于 u(x)微小变化后和v(x)的微小变化后相乘再减去原先u(x)和v(x)的乘积

由于du·dv可以忽略不计，因此有：

$d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,$

两边除以dx，便得：

$\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx}$

或

$(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,$

其实呢，使用 f(x+Δx)=f(x)+f’(x)Δx 并不难推倒乘法定理，而乘法定理对于推倒除法定理和分部积分灰常有意义D

2.链式法则证明

设f和g为函数，x为常数，使得f在g(x)可导，且g在x可导。根据可导的定义，

$g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$ ，其中当 $\delta\to 0$ 时， $\epsilon(\delta) \to 0 \,$ 。

同理，

$f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,$ ，其中当 $\alpha\to 0. \,$ 时， $\eta(\alpha) \to 0 \,$ 。

现在

$f(g(x+\delta))-f(g(x))\,$
$= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,$

$= \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,$

其中 $\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$ . 注意到当 $\delta\to 0$ 时， $\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)$ 及 $\alpha_\delta \to 0$ ，因此 $\eta(\alpha_\delta)\to 0$ 。因此

$\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)).$

记得当 $\epsilon(\delta) \to 0 \,$ 以及 $\delta\to 0$ 时候掉 $\epsilon(\delta) \to 0 \,$ 和 $\eta(\alpha) \to 0 \,$ 就比较容易证明了，链式法则对于推倒换元积分是灰常有意义D

3.介值定理证明

证明第一种情况f(a) < u < f(b)；第二种情况也类似。

设S为[a, b]内所有x的集合，使得f(x) ≤ u。那么S是非空的，因为a是S的一个元素，且S是上有界的，其上界为b。于是，根据实数的完备性，最小上界c = sup S一定存在。我们来证明f(c) = u。

假设f(c) > u。那么f(c) − u > 0，因此存在δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < f(c) − u，因为f是连续函数。但是，这样一来，当|x − c| < δ时，就有f(x) > f(c) − (f(c) − u) = u（也就是说，对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) > u）。因此c − δ是S的一个上界，与我们假设c是最小上界以及c − δ < c矛盾。

假设f(c) < u。根据连续性，存在一个δ > 0，使得当|x − c| < δ时，就有|f(x) − f(c)| < u − f(c)。那么对于(c − δ, c + δ)内的x，都有f(x) < f(c) + (u − f(c)) = u，因此存在大于c的x，使得f(x) < u，这与c的定义矛盾。

因此f(c) = u。

此定理仰赖于实数完备性，泪奔了，除了能看出它在用反证法外直接晕掉，幸好幸好，目前不打算设计诸如完备性方面的问题

4.中值定理证明

从罗尔–>拉格朗日–>柯西

4.1 罗尔

如果函数 f(x) 满足

在闭区间 [a,b] 上连续；
在开区间 (a,b) 内可导；
在区间端点处的函数值相等，即 f(a) = f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b)，使得 $f^\prime(\xi)=0$ 。这个定理称为罗尔定理。

首先，因为 f 在闭区间 [a,b] 上连续，根据极值定理，f 在 [a,b] 上有最大值和最小值。如果最大值和最小值都在端点 a 或 b 处取得，由于 f(a) = f(b)，f 显然是一个常数函数。那么对于任一点 $\xi \in (a,b)$ ，我们都有 $f^\prime(\xi)=0$ 。

现在假设 f 在 $\xi\in (a,b)$ 处取得最大值。我们只需证明 f 在该点导数为零。

取 $x\in (a,\xi)$ ，由最大值定义 $f(\xi)\geq f(x)$ ，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$ 。令 $x\rightarrow \xi^-$ ，则 $\lim_{x\rightarrow \xi^-} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq 0$ 。因为 f 在 ξ 处可导，所以到们有 $f'(\xi)\geq 0$ 。

取 $x\in (\xi,b)$ ，那么 $\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$ 。这时令 $x\rightarrow \xi^+$ ，则有 $\lim_{x\rightarrow \xi^+} \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq 0$ ，所以 $f'(\xi)\leq 0$ 。